\documentclass[12pt]{jarticle}
\usepackage[dvips]{graphicx}

\oddsidemargin 0mm
\evensidemargin 0mm
\textwidth 165mm
\topmargin -15mm
\textheight 230mm

\author{}
\title{�׻�ʪ����:No.5}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\section{����ʬ�������ο��Ͳ�ˡ 2}

����ʬ�������ο��Ͳ�ˡ�ǡ�ñ��ʥ����顼ˡ�������٤��夬����ˡ���
�𤹤롣��ĤϽ��������顼ˡ���⤦��Ĥ�2���� Runge-Kutta ˡ�Ǥ��롣
1�ѿ��ξ���ʬ�������ˤĤ��Ƥϴ�ñ�˳�ĥ�Ǥ��뤬��¿�ѿ��ξ���ʬ��������
�ؤ��ƤϤ�����դ����롣

\subsection{���� Euler ˡ}

$y(x+h)$ �θ�̩���ͤϡ���ʬ���Ѥ���
\begin{equation}
 y(x+h) = y(x) + \int_{x}^{x+h} f(x,y(x)) dx
\end{equation}
��ɽ�����Ȥ��Ǥ��롣�����顼ˡ�ϡ�������ʬ��
\begin{equation}
 \int_{x}^{x+h} f(x,y(x)) dx \approx h f(x,y(x))
\end{equation}
�Ƕ�����뤳��(�� 1-a) ���������뤬��Υ������ˤ��������äȾ���������
����ˤϡ�����������Ѥ��ơ�
\begin{equation}
 \int_{x}^{x+h} f(x,y(x)) dx 
  \approx \frac{h}{2}( f(x,y(x)) + f (x+h, y(x+h)))
  \label{eq:euler-m}
\end{equation}
�Ƕ������(�� 1-b)��

\begin{figure}[here]
\includegraphics[width=5cm]{euler1.eps}
\includegraphics[width=5cm]{euler2.eps}
\includegraphics[width=5cm]{r-k2.eps}
\caption{(a) �����顼ˡ (b) ���������顼ˡ (c) 2���Υ�󥲥��å�ˡ����
 ����}
\end{figure}

����������ʬ�������η׻��ξ��ˤϿ�����ʬ�Ȱ㤤������ʬ�ؿ������
̤�δؿ������ꡢ(\ref{eq:euler-m}) �α��դˤϺ��դ�ͽ¬���٤���
���ޤޤ�Ƥ��롣

�����ǡ��ޤ������顼ˡ�� $y(x+h)$ �ζ����
\begin{equation}
\fbox{$
 \tilde{y} = y(x) + h f (x,y(x)) 
$}
  \label{eq:Euler-m2}
\end{equation}
��׻����������(\ref{eq:euler-m}) �α��դ���������
\begin{equation}
\fbox{$
  y (x+h) = y(x) 
  + \frac{h}{2} \left[ f (x,y(x))+ f (x+h,\tilde{y}) \right]
  $}
  \label{eq:Euler-m3}
\end{equation}
���줬���������顼ˡ�Ǥ��롣

\subsection{ϢΩ����ʬ������}

���̤ˤ�(¿�ѿ����ⳬ�Ρ˾���ʬ�������� $m$ ��ϢΩ1������ʬ������
\begin{equation}
 \frac{d y^i(x)}{dx} = f^i (x,y^1,y^2,\ldots,y^m), \qquad i=1,\ldots, m
\end{equation}
�ˤʤ�
�������ξ��� $y,f$ ��٥��ȥ������ˤη��ˤ�����ɤ���
���ξ�罤�������顼ˡ�μ�³���ϼ��Τ褦�ˤʤ롣�ѥ�᡼���� $x_n=a+nh$
���Ф��ơ�����٤��ͤ� $y^i(x_n)$ �ζ���ͤ� $y^i_n$ ��ɽ����

\underline{���ƥå� 0}

$x,y^i$ ���Ȥ�Ϳ����줿����
\begin{equation}
 f^i (x,y^1,y^2,\ldots,y^m)
\end{equation}
�� $i=1,\cdots m$ �ޤ�1��������Ȥ��ƽФ����֥롼������������(�������
�ꤴ�Ȥ˰ۤʤ�)��

\underline{���ƥå� 1}

\begin{equation}
 \tilde{y}^{i} = y^{i}_n + h f^i (x_n,y^{i}_n)
\end{equation}
�� $i=1,\cdots m$ �ޤ�1��������Ȥ��ƽФ���

\underline{���ƥå� 2}

\begin{equation}
 y^{i}_{n+1} = y^{i}_n
  + \frac{h}{2} [ f^{i}(x_n,y^{i}_n)+ f^{i} (x_{n+1},\tilde{y^{i}})]
\end{equation}

�ǡ����Υ��ƥåפ� $y^i$ ��Ф���

\underline{���ƥå� 3}

$x_{n+1}$ �ȡ���᤿ $y^{i}_{n+1}$ �� 
�����˥��ƥå� 1,2 �Ǥ� $x_n,y^{i}_n$ ���֤������롣����ȼ��� 
$y^{i}_{n+2}$ ����ޤ롣�ʲ��缡����򷫤��֤���

\subsection{���������顼ˡ�θ���}

�����顼ˡ�θ����� ����� $h$ ���Ф�
 $O(h)$ ���٤ʤΤ����٤�夲�褦�Ȥ���ȷ׻��̤����������롣
������Ф������������顼ˡ�θ�����  $O(h^2)$ �ʤΤǤ��äȸ�Ψ���ɤ���

$y(x+h)$ �� $x$ �β��ǤΥƥ��顼Ÿ����ͤ���ȡ�
\begin{equation}
 y(x+h) = y(x) + h f(x) + \frac{1}{2} h^2 y''(x) + O��h^3��
\end{equation}
�դ� $y(x)$ �� $x+h$ �β��ǤΥƥ��顼Ÿ����ͤ���ȡ�
\begin{equation}
 y(x) = y(x+h) - h f(x+h) + \frac{1}{2} h^2 y''(x+h) + O��h^3��
\end{equation}
����2�Ĥμ����顢
\begin{eqnarray}
 y(x+h) &=& y(x) + \frac{h}{2}[y'(x)+y'(x+h) ] + O(h^3) \nonumber \\
 &=& y(x) + \frac{h}{2}[f(x)+f(x+h) ] + O(h^3)
  \label{eq:Euler-m1}
\end{eqnarray}
�ʤΤǡ����������顼ˡ�ξ���ʬ���������ΤȤ��Ƥθ����ϡ�$O(h^2)$ �˲���
���롣

���������顼ˡ�Ϥ��ʣ���Ǥ��뤬��100 �����٤�夲��Τˡ�10 �ܤη׻���
�ǺѤ�ΤǸ���Ū�Ǥ��롣����ˤ��η�̤ȼ�«��®ˡ���ȹ礻��ͤ����롣

\subsection{2���� Runge-Kutta ˡ}

Υ������ˤ������򾮤�������ˤϡ����������¾�������������Ѥ���
\begin{equation}
 \int_{x}^{x+h} f(x,y(x)) dx 
  \approx h f \left( x+\frac{h}{2},y(x + \frac{h}{2}) \right)
  \label{eq:runge-kutta-2}
\end{equation}
�Ƕ�����뤳�Ȥ�ͤ�����(�� 1-c)��

��������$y(x+h/2)$ ��ɾ����ɬ�פʤΤǥ����顼ˡ�� $y(x+h/2)$ �ζ����
\begin{equation}
 \tilde{y} = y(x) + \frac{h}{2} f (x,y(x))
\end{equation}
��׻����������(\ref{eq:runge-kutta-2}) �α��դ���������
\begin{equation}
 y(x+h)
  \approx h f \left( x+\frac{h}{2},\tilde{y} \right)
  \label{eq:runge-kutta-2b}
\end{equation}
�����2���Υ�󥲥��å�ˡ�Ȥ����������� $O(h^2)$ �Ǥ��롣

\section{����}

����β�����������顼ˡ�ǰ��äƤߤ衣�������Ⱦʬ�ˤ���ȸ������� 1/4 
�ˤʤ뤳�Ȥ��ǧ���衣;͵�������2���Υ�󥲥��å�ˡ�Ǥⰷ�äƤߤ衣

\end{document}
