\documentclass[12pt]{jarticle}

\oddsidemargin 0mm
\evensidemargin 0mm
\textwidth 165mm
\topmargin -15mm
\textheight 230mm

\author{}
\title{�׻�ʪ����:No.1}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\section{�Ϥ����}

���ιֵ��Ǥϡ����ˤ������٤Υץ�����ߥ󥰤ˤĤ��ƴ���Ƥ����ͤ��оݤ˼�
«��®ˡ������ʬ�������ʤɤ�ؽ�����ʪ�����ݤ˻Ȥ���ޤ�����
��Ǥ�����

\section{����μ�«}

3ǯ�����ο��ͷ׻�ˡ�����ǰ��ä�������ʬ���˥塼�ȥ�ˡ�Ƿи�����������
�̤�ͭ�²�ο��ͷ׻��Ǥ϶���ͤ������롣�����黻�̤��礭������ж����
�ɤ��ʤ뤬�����ʤ��黻�̤����ɤ����������Ǥ���и�ΨŪ�Ǥ��뤷����
������ݤ�����ʤɤΰ��ƶ�������񤯤ʤ롣

�������������̲��������� $a_1,a_2,a_3,\cdots$ ���˸��� $a$ �˼�«����
\begin{equation}
 \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a
\end{equation}
�Ȥ��ơ����μ�«���ᤵ��ʬ��ȡ���«��®ˡ(������ʬ�ǰ��ä� Richardson 
��®��1��)�ˤĤ��Ƶ������롣

\subsection{ʬ��}
\subsubsection{1����«}
\begin{equation}
 |a_{n+1} - a| \leq M |a_{n}-a|  \qquad (0<M<1)
\end{equation}
�Ȥʤ�褦�ʤ�Ρ�

����� $n$ ���礭���Ȥ����� 
\begin{equation}
 a_{n+1}-a \approx \lambda (a_n-a) \qquad (0<|\lambda|<1)
\end{equation}
�ȤʤäƤ��뤳�Ȥ�¿�������λ���$\lambda,b$ ������Ȥ���
\begin{equation}
 a_n = a+ b \lambda^{n} + \cdots
 \label{eq:exp}
\end{equation}
��ɽ����롣

��«���ᤵ��$\lambda$ �������ͤˤ�ꡢ$|\lambda|$ ����������м�«���᤯��
$|\lambda|$ �����˶ᤤ�ȼ�«���٤�����«��®ˡ���ɤ��оݤȤʤ롣

��Ȥ��ƤϽź��᤯�ǤΥ˥塼�ȥ�ˡ�Ǥο��񤤤ʤɡ�

\subsubsection{2����«}
\begin{equation}
 |a_{n+1}-a| \leq M |a_{n}-a|^2 \qquad ( 0<M<1)
\end{equation}
�Ȥʤ��Ρ�

��Ȥ��Ƥϥ˥塼�ȥ�ˡ�����ޤ�Ư�����ǡ���ζ᤯�Ǥο��񤤡����ξ��ϡ�
���� $n$ ��1���������Ȥ�������������ܤˤʤ�Τǡ���«����ʬ�᤯���ä˲�
®ˡ��ɬ�פ��ʤ���

\subsubsection{$p$ ����«}
�嵭2�Ĥ���̲���
\begin{equation}
 |a_{n+1}-a| \leq M |a_{n}-a|^p \qquad ( 0<M<1)
\end{equation}
�Ȥʤ��Ρ�$p$ �������Ǥʤ����⤢�롣

\subsubsection{$O(n^{-\alpha})$ �μ�«}
\begin{equation}
 |a_{n}-a| \leq c n^{-\alpha} \qquad (c>0,\alpha>0)
\end{equation}
�Ȥʤ�褦�ʤ�Ρ����Ф��С�
\begin{equation}
 a_n = a + b_1 n^{-\alpha}+ \cdots
\label{eq:power}
\end{equation}
�Τ褦��ɽ����롣

$\alpha$ ���礭���ʤ�ˤĤ졢��«���᤯�ʤ뤬����ʬ�ᤤ�ȤϤ����ʤ���
$\alpha$ �� $0$ �˶��դ��ȡ���«�������٤��ʤ롣

��Ȥ��Ƥ���������ˤ�������ʬ�Ǵؿ�����餫�ʾ�� 
($\alpha=2$)��

���η��Τ�Τ� $n$ ����������ʤ��褦�� $a_n$ ����ʬ������֤�1����«
�ˤʤ롣�㤨�С���������ˤ�������ʬ��
$n=2^m(m=0,1,2,3, \cdots)$ �Ȥ��ơ�
$a_1,a_2,a_4,a_8,\cdots$
�ȤȤ�ȡ�(\ref{eq:exp}) �η��ˤʤꡢRichardson �䳰�����ѤǤ��롣

���η��Τ�Τǡ���«������Ū�Ǥ�����
\begin{equation}
 a_n = a + (-1)^n (b_1 n^{-\alpha}+ \cdots)
\label{eq:alt-power}
\end{equation}
�⤢�롣

\subsubsection{���緿}

1����«�ȡ�$O(n^{-\alpha})$ ��ξ�Ԥ����礷��������
\begin{equation}
 a_n = a + \lambda^n (c_1 n^{-\alpha_1}+c_2 n^{-\alpha_2} + \cdots)
\label{eq:mixed}
\end{equation}
(������ $|\lambda| \le 1, \lambda \neq 1, \alpha_1<\alpha_2<\cdots$ �Ǥ�
�롣
$|\lambda| = 1$ �ξ��Ϥ���� $ 0<\alpha_1<\alpha_2<\cdots$ �Ȥ���)�ο�
���ͤ����롣�������(\ref{eq:alt-power})�� $\lambda=-1$ �Υ������Ǥ⤢�롣

\subsection{��«��®ˡ}
\subsubsection{Richardson �䳰}
1����«�ǡ���«Ψ
\begin{equation}
 \lambda = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}-a}{a_n-a}
\end{equation}
������Ū�ͻ��ʤɤ�ʬ���äƤ�����ϡ���«�ͤ˶��դ���(\ref{eq:exp}) ��
����
\begin{equation}
 a_{n+1} -a \approx \lambda (a_n-a)
\end{equation}
�ˤʤ�Τǡ������򤯤Ȳ������������ͤȤ���
\begin{equation}
 a \approx a_n^{(1)} 
=\frac{a_{n+1}-\lambda a_n}{1- \lambda}
= a_n + \frac{a_{n+1}-a_{n}}{1-\lambda}
\label{eq:Richardson}
\end{equation}
��������(��:����������Ф��� Richardson �䳰�Ǥ� $\lambda=1/4$)������
�ˡ��⼡��������
\begin{equation}
 a_n = a+ b_1 \lambda_1^{n} + b_2 \lambda_2^{n} + \cdots
\end{equation}
�Ǥ���Ȥ�������줿���� $a_n^{(1)}$ ���Ф���Richardson �䳰�򷫤�
�֤� $a_n^{(2)},a_n^{(3)},\cdots$ ��«�������Ǥ��롣

\subsubsection{Aitken ��®}

�ºݤ�����Ǥϼ�«Ψ$\lambda$��̤�ΤǤ��뤳�Ȥ�¿�������Τ褦�ʾ�硢
(\ref{eq:exp}) �����顢
\begin{equation}
 a_{n+1}-a_{n} 
\approx b \lambda^{n+1} - b \lambda^{n} 
= b\lambda^{n}(\lambda -1)
\end{equation}
�Ǥ���Τǡ�
$a_{n+1}-a_n$ �� $a_{n+2}-a_{n+1}$ ���椫��
\begin{equation}
  \lambda = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}-a_n}
\end{equation}
�� $\lambda$ ��������ꤹ�뤳�Ȥ��Ǥ��롣

���� $\lambda$ �ο��꼰��Richardson �䳰��Ƴ������ (\ref{eq:Richardson})
����������ȡ�
\begin{equation}
 a \approx 
 a_n^{(1)} = a_n - \frac{(a_{n+1}-a_{n})^2}{a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n}
 = a_{n+2} - \frac{(a_{n+2}-a_{n+1})^2}{a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n}
\end{equation}
�������롣

Aitken ��®��1����«���Ф��Ƥ����Ǥʤ���
���緿 (\ref{eq:mixed}) �����Ū�ʼ�«���򼨤����
(\ref{eq:alt-power}) �ˤ�ͭ���Ǥ���
(�����ϼ���ʹ�)��
��������ñ����Ѿ�Ū��«�򼨤����(\ref{eq:power})�ˤϡ����ޤ���̤��ʤ���

����줿���� $a_n^{(1)}$ ���Ф���Aitken ��®�򤵤�˷���
�֤���$a_n^{(2)},a_n^{(3)},\cdots$ �ȼ�«�����Ǥ��롣

\medskip

\underline{\large ���ꡧ}

Ϳ����줿������Ф���Aitken ��®���줿������֤��ץ�������ʤ�
����Х��֥롼����η��ǡ˺�졣�����ټ¿���Ȥ����ȡ�

\section{����Ū����}

\subsection{Ϣ����}

����ʤɤϡ��ֵ�����Ѷ�Ū�ˤ��뤳�ȡ��ޤ����ֵ���˵��䤬������ϡ�ľ
�ܰʲ���������ˬ��Ƥ��ɤ�����e-mail ��ȤäƤμ��������դ��롣

��¼ 2641 �漼(knomura@stat.phys.kyushu-u.ac.jp)

\subsection{�ֵ��Υץ���}

�ֵ��Υץ��Ȥ򼡤� URL �Υۡ���ڡ������֤��Ƥ�������

http://maya.phys.kyushu-u.ac.jp/\~{}knomura/index.html.ja

�������
\begin{verbatim}
        �ֵ�
        �׻�ʪ����
\end{verbatim}
���黲�Ȥ��뤳�ȡ�

�ޤ��������ݡ�����мԤΰ�������ݡ��Ⱥ���ФηǼ��⤳�� URL ��Ȥ�ͽ
��Ǥ��롣

\end{document}

