\documentclass[12pt]{jarticle}

\oddsidemargin 0mm
\evensidemargin 0mm
\textwidth 165mm
\topmargin -15mm
\textheight 230mm

\author{}
\title{���ͷ׻�ˡ����:No.11}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\section{����η׻�}
�͡��������η׻����椫�顢�����Ǥϵչ����������Ԥ���

�չ�������ȡ�
\begin{itemize}
 \item ������ϢΩ���������򤱤롣
\end{itemize}
�ʤɤ����������롣($E$��ñ�̹����ɽ��)
\subsection{�չ���ε����}
�չ���������ˡ�Ȥ��Ƥϡ�
\begin{itemize}
\item ;���ҹ����Ȥ���ˡ
\item Gauss-Jordan���ݤ��Ф�ˡ��Ȥ���ˡ(���ؤ��ܤ�p47)
\item ���ѹ���($LU$����)�ˤ櫓�Ʒ׻�������ˡ
\end{itemize}
�ʤɤ����롣�ºݤΥץ������䥢�르�ꥺ�ब��ñ�Ǥ���Τǡ�
�����Ǥ�Gauss-Jordan���ݤ��Ф�ˡ��Ȥäơ��չ������롣

\subsection{Gauss-Jordan���ݤ��Ф�ˡ}
$A$�εչ�����᤿����
�ޤ��ϡ�$A$��$E$���¤٤�$(A:E)$�Ȥ��ޤ���

�������(����������� \cite{Algebra} p4)��Ԥäơ�$A$��ñ�̹���ˤʤ�褦���ѷ����ޤ���
�����ѷ��ˤ��$E$����$B$�ˤʤä��Ȥ���ȡ�$B=A^{-1}$�Ȥʤ�ޤ���

�ʤ��ʤ�д������򷫤��֤����ϡ��������ι���(���ؤ���p87)���Ѥ�
�����餫������Ǥ��롣
$A$��$E$�ˤ������˻Ȥä��������ι�����Ѥ�$B$�Ȥ��ơ�
\begin{eqnarray*}
B(A:E) &=& (BA:B)
\\
&=&
(E:B)
\end{eqnarray*}
�Ȥʤ�Τǡ�$B=A^{-1}$�������롣

\subsubsection{����δ����ѷ�}

�����(��)�����ѷ��ϼ��Τ褦�ʤ�ΤǤ��롣

1. 2 �ĤιԤ����촹����

2. ����Ԥ� 0 �Ǥʤ�����ݤ��롣

3. ����Ԥ��̤ιԤ�����ܤ�ä��롣

���Τ�����2��3 ��Ȥ��ȡ�ñ�̹���ؤ��Ѵ�(+�չ����Ƴ��)���������롣��
���ѷ� 1. �ϸ�Ф� Pivoting �ǻȤ���

\subsubsection{�ץ������λؿ�($A$��$E$�ˤ���)}

�ݤ��Ф�ˡ�λؿˤȤ��Ƥϡ�1���ܤ��鱦�˸����äƽ���ݤ��Ф��Ƥ���($1\sim
n$��ޤ�)]
����Ū�ˤ�

\underline{���ƥå� 1.}

�ޤ��� $wa:= A_{kk}$ �Ȥ�������ѿ�������ơ��� $k$ �Ԥ� $wa$ �ǳ�ä����
���֤������롣
\begin{equation}
 A_{kj} := A_{kj}/wa \qquad (j=1,\cdots,n)
\end{equation}

\underline{���ƥå� 2.}

�� $k$�԰ʳ��� $i=1 \sim n��$($i=1,\cdots,k-1,k+1,\cdots,n$)�ˤĤ��ưʲ�
������Ԥʤ������٤� $wb:= A_{ik}$ �Ȥ�������ѿ�������ơ��� $i$
�Ԥ��� �� $k$ �Ԥ� $wb$ �ܤ�����Τ������
\begin{equation}
 A_{ij} := A_{ij}- A_{kj} * wb \qquad (j=1,\cdots,n)
\end{equation}

\medskip

���ƥå�1��2�ˤ�ꡢ$k$ ������г���ʬ$0$���г���ʬ$1$ �ˤʤ롣
\[ 
\left(
\begin{array}{ccc}
? & 0 & ? \\
? & : & ? \\
? & 0 & ? \\
? & 1 & ? \\
? & 0 & ? \\
? & : & ? \\
? & 0 & ? \\
\end{array}
\right) 
\]

\underline{���ƥå�3.}

���ƥå�1��2�� $k=1$ ���� $k=n$ �ޤǽ缡�¹Ԥ��롣

\medskip
$\circ$ ��ǧ

�������ǡ����� $A$ ��ñ�̹�����ѷ��Ǥ��뤳�Ȥ�Τ���衣

\subsubsection{������Ϥ���ˡ(do ��ȿ��)}

�������Ϥ������do loopʸ�ǳ���ʬ���˽񤭽Ф��Ƥ��ɤ�����
\begin{verbatim}
        do i=1,L
          write (*,*) (A(i,j), j=1,N)
        end do
\end{verbatim}
�Ȥ����������ޡ��ȡ���������Ϥˤ�Ʊ����ˡ���Ȥ��롣

\subsubsection{$(E:B)$����ץ������}

$A$����$E$������Υץ������������ñ�̹���ˤ�ۤɤ����Ƥ��С�
$E$��$B$�ˤ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣
���Ȥ��Ƥϡ��Ϥ�� $(A:E)$ ����ʤ� $n$ �� $2n$ ��ι�����ꡢ�����
�Ф��ݤ��Ф�ˡ�����(â����������� $j=1,\cdots,n$ ���� 
$j=1,\cdots,2n$ �س�ĥ)��Ԥʤ���

�ºݤ�
\[ \left(
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}
\right) \]
�ʤɤεչ������Ƥߤޤ��礦��
\subsection{������Ѥ�׻�����ץ������}
�����$A$�εչ��󤬤�Ȥޤä��ΤǤ��뤬�������������ˤʤäƤ뤫��
�Τ���Ƥ����������¿��Ǥ��롣�չ���ˤʤäƤ뤫�ɤ���������å������
�����Τ����顢$A$�ȡ�$A^{-1}$�ι�����Ѥ�׻�����
�ºݤ�ñ�̹���ˤʤ뤫��Τ����Ф�����

$L$��$N$����Τ�Τȡ�$N$��$M$����Τ�Τ��Ѥ�׻����롣
\begin{quote}
C(L,M)=A(L,N)*B(N,M)
\end{quote}
C�γ���ʬ�ˤĤ��ƽ񤯤ȡ�
\[
C_{ij}=\sum_{k=1}^{N} A_{ik}B_{kj}
\]
�Ȥʤ롣����ʬ��($i=1\sim L$)�ȡ�($j=1\sim M$)�ˤĤ��Ʒ׻����Ƥ���
������Ѥ���ޤ롣

{\bf ����}

��ۤɵ�᤿$A^{-1}$��$A$�Ȥ��Ѥ�׻�����ñ�̹����
�ʤäƤ��뤳�Ȥ�Τ���ޤ��礦��

\subsection{Pivoting}
�Ǥϡ�����
\[ \left(
\begin{array}{ccc}
3 & 2 & 5 \\
6 & 4 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right) \]
�εչ������Ƥߤޤ��礦��

���Ԥ����ΤǤϤʤ��Ǥ��礦�����ʤ�������������$A_{kk}=0$�������

���ι���ι��󼰤�0�ǤϤʤ��Τǵչ����¸�ߤ��롣
�չ������褦�Ȼפä��顢0�ǳ�껻�򤷤ʤ��褦�ˤ���Ф�����
������ˡ��pivoting�Ǥ��롣

pivoting�ˤϡ�
\begin{itemize}
\item full pivoting
\item partial pivoting
\end{itemize}
�����롣��ñ��partial pivoting��Ȥ���
\subsubsection{Partial Pivoting�λؿ�}
�ݤ��Ф�ˡ�Υץ�������$k$���ܤν���������ˡ�$k$����椫��
�����礭����ʬ��õ���Ƥ��ιԤ�$k$�ԤȤ������ؤ��Ʒ׻����롣

\subsection{����¾}
\subsubsection{�׻��̤ˤĤ���}
\begin{itemize}
\item ;���ҹ���ˡ�����($O(N^3) vs. O(N!)$)
\item $LU$����������ˡ���ϡ�1.5��¿��
\end{itemize}

\subsubsection{��������}
(Fortran����\cite{Fortran}��p73)��Gauss-Jordan���ݤ��Ф�ˡ���ܤäƤ��롣
������ˡ���ȡ������1�Ĥ����Ѱդ���Ф����Τǡ����������ˤʤ�(â����
�������Ϥ��ʣ���ˤʤ�)��

\section{��ݡ��� No.4:����黻}

������Ѥȡ��չ���ˤĤ��ƤΥץ������ȼ¹�����ݡ��ȤˤޤȤ�롣

�չ���ˤĤ��Ƥϡ��ץ������κ������Τ�Τ˲ä���
Gauss-Jordan �ξõ�ˡ���ݤ�����ˡ�ˤˤĤ��Ʋ��⤹�뤳�ȡ�
;͵������� LU ʬ��ʤɤˤĤ��Ƥ�Ĵ�٤Ƥߤ衣

 ��д���: 7��30��

\begin{thebibliography}{99}
 \bibitem{Algebra} �ִ��� ��������� ����š�����ɼ� (������)
 \bibitem{Fortran} ��Fortran90����� ������� (���̽��ǳ������)
\end{thebibliography}

\end{document}
