\documentclass[12pt]{jarticle}

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\author{}
\title{数値計算法概論：No.8}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\section{数値積分(周期関数)}

No.5の課題で、(6) 式のものは端点に特異性を持つ（微係数が発散する）
ので収束性が遅い。こういった問題には(Aitken 加速\cite{Iri,Sugiwara}など)
別のテクニックが必要となる。

逆にある場合には台形則の収束性が極めて早くなる。解析的な周期関数 
$f(x)$の1周期$[a,b]$に渡る積分を台形則で計算した時の誤差は、
$f^{(m)}(a) =f^{(m)}(b)$ (すべての $m$ に対して)であるから、
Euler-Maclaurin の総和公式で、$O(h^m)$ の形の誤差はなくなり、収束が極
めて早くなる(ただし $\exp (-c/h)$ のような振舞いをする誤差は残り得る)
\cite{Iri2}。
従って、収束加速法が特に必要なくなる(また、Richardson 補外の単純な応用で
は扱えない)。

課題：

1.
\begin{equation}
  \int_{0}^{2 \pi} \frac{ d \theta}{1 +  p \cos \theta}
   \qquad (0<p<1)
\end{equation}
を計算せよ。解析的には留数定理の応用\cite{Sugakuenshu}で計算できる。

2.
\begin{equation}
 J_n (z)=\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2 \pi} \cos ( n x -  z \sin x ) dx
\end{equation}
(Bessel 関数\cite{Kousiki})を計算して、収束性を評価して見よ。注：gnuplot
に $J_n (z)$ (besj0(x) など)がある。

\section{一般的注意}

\subsection{レポート提出に付いて}

数値積分について、No.5 の課題の中から2題以上と、自分で選んだ積分1
題以上について台形則で計算せよ。収束性について議論し、収束加速法
(Richardson 補外)がうまく行く場合にはこれを使って精度向上を図ってみよ。

余裕があるものは、No.8 の周期関数についても取り組んでみよ。

まず、何の積分を行なったのか方程式を明確に記し、
それに対するプログラム（重複するものは省略可）と
プログラムの説明及び実行結果、収束性の考察、
その他のコメントを付けてレポート No.2 として提出せよ。講義名、名前、学籍
番号、提出日時を表紙に明記すること（メールの場合もこの情報含めること）。
提出期限は6月20日まで。コピーレポートはオリジナルも含め認めない。

解析的な考察が出来る場合は書くこと。表・図を入れて分かり易く
工夫したものは評価する。参考文献なども明記すること。
また、コピーレポートは認めないが、互いの議論によりレポートの質が向上した
場合は評価するので、議論した部分・参考とした意見と相手の氏名を明記して出
すこと。
Fortran 以外の言語(C,C++)を使った場合は、記しておくこと。

提出先は、野村(理学部２号館 2641 号室、内線 2566、
e-mail:knomura@stat.phys.kyushu-u.ac.jp)、
メールでの提出も認める（この場合は、自分のところにかならず Cc: してお
くこと、提出洩れがあるかないか後で確認する時に必要。また Subject: には 
Report No.2 と入れること。余裕があれば文書整形システム platex 試してみよ。
Word,Excel などを使った文書は私の方で読めないので、
再送を要求する）。

\subsection{参考図書}
\begin{enumerate}
 \item     数値計算一般について、
\newline
「数値計算の常識」 伊理 正夫、藤野 和健 著、共立出版 （2400 円）
\newline
は一通り数値計算を勉強してから読み直すとためになる。

 \item
レポート作成には、プログラムと実行結果のみではなく、明解かつ論理的な説明
をするように努めること。説明順序、文章の構成、適当な数式、図表などに工夫
することで、レポートの質が向上する。
\newline
「理科系の作文技術」 木下 是雄 著、中公新書 (480円)
\newline
を参考にすること。
\end{enumerate}

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Iri}「数値計算の常識」、伊理 正夫、藤野 和建 著、
	共立出版 (第20章2節、第7章4節)
\bibitem{Sugiwara}「数値計算法の数理」、杉原 正顕、室田 一雄 著、
	岩波書店 (第12章4節2)
\bibitem{Iri2}「数値計算の常識」、伊理 正夫、藤野 和建 著、
	共立出版 (第7章5節)
\bibitem{Sugakuenshu} 「物理応用 数学演習」、後藤 憲一、山本 邦夫、神吉 
	健 共著、共立出版 (第4章5節)
\bibitem{Kousiki} 「数学公式集」 第3巻, 第 VI 編、岩波全書
\end{thebibliography}

\end{document}

