非線形方程式の解法:ニュートン・ラフソン法

任意の関数 $f(x)$ について、$f(x)=0$ となる点 $x$ を求めよう。 図のように適当な初期値 $x_0$ において $f(x)$ に接線を引けば、接線の方程式は

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$ (1)

であり、したがってこの接線と $x$ 軸との交点 $x_1$ は $y=0$ とおいて

$$x_1=x_0-f(x_0)/f'(x_0)$$ (2)

で与えられる。

次に$x_1$ での $f(x)$ への接線と $x$ 軸との交点を$x_2$ とする、という操 作を繰り返すと、交点は$f(x)=0$の解に近付く。$i$番目の繰り返しでは、

$$x_{i+1}=x_{i}-f(x_i)/f'(x_i)$$ (3)

になるので、適当な値$\epsilon$(収束半径) を決めておき、 $\vert x_{i+1}-x_{i}\vert< \epsilon$ になったら、$x_{i+1}$ を解とみなす。

ニュートン法の収束は、2次収束

$$\vert x_{i+1}-x_{\infty}\vert < c \vert x_{i}-x_{\infty}\vert^2$$ (4)

で、真の値に近付くと極めて早い。大体、$i$ が１増えると有効桁数が倍になる。