: プログラム : 数値計算法概論：No.5 数値積分(台形公式) : 数値計算法概論：No.5 数値積分(台形公式)

数値積分(台形公式)

微分とは異なり、一般に積分は解析的には求まらないので、数値計算に頼る必要がでてくる。特異点のない場合、次の(閉じた) 台形公式により、数値積分ができる。

$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx$	$\textstyle =$	$\displaystyle \sum_{i=0}^{i=N-1} h(f(x_{i})+f(x_{i+1}))/2 ＋O \left( \frac{(b-a)^3 f''}{N^2} \right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle h \left[ \frac{1}{2} f(a) + \sum_{i=1}^{i=N-1} f(x_i)+\frac{1}{2} f(b) \right] ＋O \left( \frac{(b-a)^3 f''}{N^2} \right),$
$\displaystyle x_{i}$	$\textstyle =$	$\displaystyle a+ h i, \quad h \equiv \frac{(b-a)}{N}$	(1)

$\includegraphics [height=5cm,clip]{fig5.eps}$

[解説] 積分区間を等分し $x_0=a,x_1,x_2,\cdots,x_N=b$ とし、、各点での関数値を $f(x_0),f(x_1),\cdots,f(x_N)$ で表す。図のように関数を折れ線で近似すると、各台形の面積は、 $h(f(x_{i})+f(x_{i+1}))/2$ で、 (積分値 $\approx$ 台形の総面積) から上の台形公式が導ける。