数値積分(台形公式)

微分とは異なり、一般に積分は解析的には求まらないので、 数値計算に頼る必要がでてくる。特異点のない場合、次の(閉じた) 台形公式により、数値積分ができる。

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{i=0}^{i=N-1} h(f(x_{i})+f(x_{i+1}))/2 ＋O \left( \frac{(b-a)^3 f''}{N^2} \right)$$

$$= h \left[ \frac{1}{2} f(a) + \sum_{i=1}^{i=N-1} f(x_i)+\frac{1}{2} f(b) \right] ＋O \left( \frac{(b-a)^3 f''}{N^2} \right),$$

$$x_{i} = a+ h i, \quad h \equiv \frac{(b-a)}{N}$$ (1)

[解説] 積分区間 $[a,b]$ を $N$ 等分し $x_0=a,x_1,x_2,\cdots,x_N=b$ とし、、 各点での関数値を $f(x_0),f(x_1),\cdots,f(x_N)$ で表す。 図のように関数 $f(x)$を折れ線で近似すると、 各台形の面積は、 $h(f(x_{i})+f(x_{i+1}))/2$ で、 (積分値 $\approx$ 台形の総面積) から上の台形公式が導ける。

課題1： 次の問題を数値積分して見よ。分割数$N$(刻み幅 $h$)に対する収束性を確認せ よ。

$$\int_{0}^{\pi} \sin (x) dx =2$$ (2)

$$\int_0^{1} e^x dx = e-1 = 1.718281828\cdots$$ (3)

$$\int_{-1}^{1} \frac{2}{1+x^2} dx = \pi = 3.141592653589793\cdots$$ (4)

$$\int_{0}^{1} \exp ( - x^2) dx$$ (5)

$$4 \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx = \pi$$ (6)