Euler-Maclaurin 総和公式

$f(x)$ が滑らかな関数の時、次のオイラー・マクローリン( Euler-Maclaurin ) 総和公式が成立する [1,2]。

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = h \left[\frac{1}{2} f(a) + \sum_{i=1}^{i=N-1} f(a+h i) +\frac{1}{2} f(b) \right]$$

$$- \frac{B_2 h^2}{2!}(f'(b)-f'(a)) - \cdots -\frac{B_{2k} h^{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(b)- f^{(2k-1)}(a)) - \cdots,$$

$$h \equiv \frac{(b-a)}{N}$$ (1)

ここで $B_{2k}$ は Bernoulli 数と呼ばれ、次の関係で定義される。

$$\frac{t}{e^t-1} = \sum_{n=0}^\infty B_n \frac{t^n}{n!}$$ (2)

具体的には

$$B_0=1,B_2=\frac{1}{6}, B_4=-\frac{1}{30},B_6= \frac{1}{42}, \cdots$$ (3)

(奇数値は $B_1=-1/2$ を除くとすべて消える)。