現代の物理学 レポート問題 No.1

野村 清英

提出期限： 6月19日

問題 1

$$[\hat{x}, G(\hat{p})]= i \hbar \frac{\partial G(\hat{p})}{\partial \hat{p}}$$ (1)

という交換関係を示そう。

1-0. まず $[\hat{x}, \hat{p}] = i \hbar$ である。

1-i. $[\hat{x}, \hat{p}^{n}] = i \hbar n \hat{p}^{n-1}$ が成り立つ時、 $[\hat{x}, \hat{p}^{n+1}] = i \hbar (n+1) \hat{p}^{n}$ を確かめよ。

上記2つのことより数学的帰納法を使い、任意の $n$ について $[\hat{x}, \hat{p}^{n}] = i \hbar n \hat{p}^{n-1}$ が成立する。

1-ii.

$$G(\hat{p})= \sum g_n \hat{p}^n$$ (2)

と級数展開できる時、問題冒頭の交換関係確かめよ。

問題2

平行移動演算子

$$\hat{Trl}(l) = \exp \left( \frac{-i \hat{p} l}{\hbar} \right)$$ (3)

を考える。

2-i.

$$[\hat{x},\hat{Trl}(l)]$$ (4)

を計算せよ。

2-ii. 上記の結果を利用して、 $\hat{Trl}(l) \vert x \rangle$ が位置演算子 $\hat{x}$ の固有状態であることを証明せよ。対応する固有値は いくらか。

問題3

$$[\hat{p}, F(\hat{x})]= - i \hbar \frac{\partial F(\hat{x})}{\partial \hat{x}}$$ (5)

という交換関係を示せ。

問題4

$\vert+\rangle$ と $\vert-\rangle$ の規格直交性を用い、

$$[\hat{S}_i,\hat{S}_j]= i \epsilon_{ijk} \hbar S_k, \; \{ \hat{S}_i,\hat{S}_j \} = (\hbar^2/2) \delta_{ij}$$ (6)

を示せ。ここで、

$$\hat{S}_x = (\hbar/2) (\vert+\rangle\langle -\vert + \vert - \rangle \langle +\vert)$$

$$\hat{S}_y = (i\hbar/2) (- \vert+\rangle\langle -\vert + \vert - \rangle \langle +\vert)$$

$$\hat{S}_z = (\hbar/2) (\vert+\rangle\langle +\vert - \vert - \rangle \langle -\vert)$$ (7)

である。