現代の物理学レポート問題 No.1

野村清英

提出期限： 6 月 19 日問題 1

[x̂, G(p̂)] = ih̄\frac{∂G(p̂)}{∂p̂}  (1)

という交換関係を示そう。 1-0. まず [x̂, p̂] = ih̄ である。 1-i. [x̂, p̂^{n}] = ih̄np̂^{n−1} が成り立つ時、 [x̂, p̂^{n+1}] = ih̄(n + 1)p̂^{n} を確か

めよ。

上記 2 つのことより数学的帰納法を使い、任意の n について [x̂, p̂^{n}] = ih̄np̂^{n−1} が成立する。

1-ii.

G(p̂) = ∑ g_{n}p̂^{n}  (2)

と級数展開できる時、問題冒頭の交換関係確かめよ。

問題 2 平行移動演算子

T̂ rl(l) = exp (\frac{−ip̂l}{h̄} )  (3)

を考える。

2-i.

[x̂, T̂ rl(l)]  (4)

を計算せよ。

2-ii. 上記の結果を利用して、 T̂ rl(l)|x⟩ が位置演算子 x̂ の固有状態であることを証明せよ。対応する固有値はいくらか。

問題 3

[p̂, F (x̂)] = −ih̄\frac{∂F (x̂)}{∂x̂}  (5)

という交換関係を示せ。問題 4 |+⟩ と |−⟩ の規格直交性を用い、

[Ŝ_{i}, Ŝ_{j}] = iϵ_{ijk}h̄S_{k}, {Ŝ_{i}, Ŝ_{j}} = (h̄^{2}/2)δ_{ij}  (6)

を示せ。ここで、

Ŝ_{x} = (h̄/2)(|+⟩⟨−| + |−⟩⟨+|)
Ŝ_{y} = (ih̄/2)(−|+⟩⟨−| + |−⟩⟨+|)
Ŝ_{z} = (h̄/2)(|+⟩⟨+| − |−⟩⟨−|)  (7)

である。