収束性

分割数 $N$ の時の台形公式による数値積分の結果を $I_N$ とする。

$$I_N = h_N \left[\frac{1}{2} f(a) + \sum_{i=1}^{i=N-1} f( a + h_N i) +\frac{1}{2}f(b) \right] ; \; h_{N} = \frac{b-a}{N}$$ (4)

台形公式の収束性はオイラー・マクローリンの公式(1) で与えられ、$h$ の偶関数で ある。分割数 $N$ に対して誤差は $N^{-2},N^{-4},\ldots$ と振舞う。

$$I_N= I_\infty + c_1 N^{-2} + c_2 N^{-4} + c_3 N^{-6} \cdots$$ (5)

ところで $I_N$ と $I_\infty$ の直接比較して収束性評価できるのは結果が解 析的に分かっている場合のみである。 一般には、$I_{2N}-I_{N}$ を調べることで 収束性を調べられる。例えば誤差が、

$$I_N = I_\infty + c N^{-\alpha}$$ (6)

と冪乗的に振舞うなら、 $I_{2N}-I_{N}=c'N^{-\alpha},\quad c'=c (2^{-\alpha}-1)$ となる。 さらに

$$(I_{4N}-I_{2N})/(I_{2N}-I_{N}) = 2^{-\alpha}$$ (7)

として誤差の収束の早さも評価できる。