付録：混合型の Aitken 加速

まず、

$$a \approx a_n^{(1)} = a_n - \frac{(a_{n+1}-a_{n})^2}{a_{n... ... = a_{n+2} - \frac{(a_{n+2}-a_{n+1})^2}{a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n}$$ (9)

は行列式を使った表記で

$$a_n^{(1)} = a + \frac{ \left\vert \begin{array}{cc} a_{n+2... ...& a_{n} -a \end{array}\right\vert } {a_{n+2}-2 a_{n+1} +a_{n}}$$ (10)

と書き直せることに注意する。

混合型の () を次のように書き直す。

$$a_n = a + \lambda^n f(n-1), \qquad f(n-1) = c_1 n^{-\alpha_1}$$ (11)

これを上記の式に入れて計算すると、

$$a_n^{(1)} = a + \lambda^{n+2} \frac{ \left\vert \begin{arra... ...ray}\right\vert } { \lambda^2 f(n+1) - 2 \lambda f(n) +f(n-1)}$$ (12)

である($\lambda^{n+2}$ を括り出すには、行列式の多重線形性を用いた)。

ここで、分母は、 $c_1 (1-\lambda)^2 n^{-\alpha_1}$, 分子の行列式は

$$\left\vert \begin{array}{cc} f(n)+f'(n) +\frac{1}{2}f''(n) & f(n)\\ f(n) & f(n)-f'(n) +\frac{1}{2}f''(n) \end{array}\right\vert$$

$$\approx f(n)f''(n) -(f'(n))^2 \approx c_1^2 \alpha_1 n^{-2\alpha_1 -2}$$ (13)

と近似されるので、

$$a_n^{(1)} \approx a + \frac{c_1 \alpha_1}{(1-\lambda)^2} \lambda^{n+2} n^{-\alpha_1-2}$$ (14)

が導かれた。