レポート課題

1. 以下の級数
   

   $$a_n = \sum_{k=1}^{n} (-x)^{k-1}, \qquad \lim_{n\rightarrow \infty} a_n = 1/(1+x), \qquad (\vert x\vert < 1)$$ (6)

   
   
   を Aitken 加速してみよ（1回で十分のはずである）。 これは1次収束である。No.1 の 2.2.2 の (16) 式を使い、収束性を調べてみよ。

2. 交代級数(今回のプリントの (1),(2) その他岩波数学公式集 II p。37 など参照) の内1つ以上の Aitken 加速をして見よ。

3. 数値積分の台形公式で区間の端で被積分関 数が $constant + x^{\alpha}(0< \alpha<1)$ と振舞う時、誤差は $O(N^{-\alpha-1})$ 程度である（解析的に導いて見よ）。この 場合も分割数を2の冪乗にとると Aitken 加速が使える。 以前扱った関数の台形公式による積分で、
   

   $$4 \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx = \pi$$ (7)

   
   
   の収束性を調べ、Aitken 加速してみよ。 余裕があれば
   

   $$\int_{0}^{1} （1-x^2）^\alpha dx$$ (8)

   
   
   と一般化したものについても調べよ。