$\epsilon$-algorithm

$\epsilon$-algorithm の手続きは、以下の通りである。
1) 2 次元配列 $\epsilon$ を用意し、その第0行に元の配列を入れる。

$$\epsilon_{0,n} = a_n \qquad ( n = 1,2,\cdots)$$ (4)

2) 隣の要素との差の逆数を次の行に書く。

$$\epsilon_{1,n} = 1/(\epsilon_{0,n+1} - \epsilon_{0,n}) \qquad ( n = 1,2,\cdots)$$ (5)

3) $i=1,2,3,\cdots$ の順に

$$\epsilon_{i+1,n} = \epsilon_{i-1,n+1} + 1/(\epsilon_{i,n+1} - \epsilon_{i,n}) \qquad ( n = 1,2,\cdots)$$ (6)

このようにして得られた $\epsilon_{2,n},\epsilon_{4,n},\epsilon_{6,n},\cdots$ が収束加速列である。

$\epsilon$-algorithm は特に

$$a_n = a + \sum_{r=1}^k b_r(n) \lambda_r^n \qquad ( b_r(n) は n の多項式)$$ (7)

という場合には、 $\epsilon_{2K,n}$ ( $K = \sum_{r=1}^k (b_r(n) の次数)$) が正しい収束値 $a$ を与える。