常微分方程式の正規形

常微分方程式の問題は、常に1階の微分方程式の組に置き換えることができる。 例えば、2階の微分方程式

$$\frac{d^2 y}{d x^2} + q(x) \frac{d y}{d x} = r(x)$$ (1)

は新しい変数 $z$ を補助的に用いて、連立の1階微分方程式

$$\frac{dy(x)}{dx} = z(x)$$

$$\frac{dz(x)}{dx} = r(x)- q(x) z(x)$$ (2)

に書き直すことができる。

一般に（多変数、高階の）常微分方程式の問題は、関数 $y^i,i=1,2,\ldots,m$ に対して、

$$\frac{d y^i(x)}{dx} = f^i (x,y^1,y^2,\ldots,y^m), \qquad i=1,\ldots, m$$ (3)

の正規形をした $m$ 元連立1階微分方程式に帰着する。 初期条件 $y^i(0)$ の組を与えると、これを数値的に解くことができる。