2次収束

ニュートン法は根 ($x_s; f(x_s)=0$) に十分近く、また根での微係数が有限の時 ( $f'(x_s) \neq 0$)には極めて収束が早い。実際根の近くで $x_s$ から微小距離 $\epsilon$ 離れた点で Taylor 展開すると、関数と導関数は近似 的に

$$f(x_s+\epsilon) = f(x_s)+\epsilon f'(x_s) +\frac{\epsilon^2}{2}f''(x_s) + \cdots$$ (1)

$$f'(x_s+\epsilon) = f'(x_s)+\epsilon f''(x_s) + \cdots$$ (2)

で表される。これらを $\epsilon_{i} \equiv x_{i} - x_{s}$ として Newton-Raphson の公式

$$x_{i+1}=x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_{i})}$$ (3)

に代入し、$f(x_s)=0$ を使って右辺を $O(\epsilon_i^2)$ まで展開すると

$$\epsilon_{i+1} \approx \epsilon_i^2 \frac{f''(x_s)}{2f'(x_s)}$$ (4)

となるので、2次収束で極めて早く収束する。