コヒーレント状態 3

1. キャンベル・ハウスドルフの公式用いて、

$$\hat{D} (\lambda) = \exp(\lambda \hat{a}^{\dagger} - \lambd... ...t^2/2)\exp(\lambda \hat{a}^{\dagger})\exp(- \lambda^* \hat{a})$$ (27)

を示せ。

2. これからコヒーレント状態は

$$｜ \lambda \rangle = \exp(-\vert\lambda\vert^2/2) \exp(\lambda \hat{a}^{\dagger}) \vert \rangle$$ (28)

とも表すことが出来ることを確認せよ。 さらに、

$$｜ \lambda \rangle = \exp(-\vert\lambda\vert^2/2) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{\sqrt{n !}} \vert n \rangle$$ (29)

とも表すことが出来る。

3. 上の式から、コヒーレント状態で、$n$ 個の粒子を見出す確率は、

$$\vert\langle n \vert \lambda \rangle\vert^2 = \exp (-\vert\lambda\vert^2 )\frac{\vert\lambda\vert^{2n}}{n !}$$ (30)

である（これはポアソン分布の形になっている）。 確率分布 $\vert\langle n \vert \lambda \rangle\vert^2$ が最大となるのは、$n$ がいくらの時か（ ヒント：$n$ が大きい時に漸近的に成り立つスターリングの公式 $\log n! \approx n(\log n -1)$ を使え）。

4. 次にコヒーレント状態の完全性

$$\frac{1}{\pi} \int \vert \lambda \rangle \langle \lambda \vert d^2 \lambda =1$$ (31)

を示せ。

ヒント：2次元極座標を用いて積分し、

$$\int^{\infty}_{0} s^n \exp (-s) ds = n!$$

を用いよ。

5.コヒーレント状態同士の内積について、 次の式を示せ。

$$\langle \lambda \vert \mu \rangle = \exp (-\frac{1}{2} \ve... ...mbda \vert^2 -\frac{1}{2} \vert \mu \vert^2 + \lambda^{*} \mu)$$ (32)

従って、コヒーレント状態は直交系を作らない。 しかし、

$$\vert \langle \lambda \vert \mu \rangle \vert^2 = \exp (- \vert\lambda -\mu\vert^2)$$

なので、$\lambda$ と $\mu$ の差が大きい時には近似的に直交する。