キャンベル・ハウスドルフ(Campbell-Hausdorff)の公式

1. 演算子（もしくは行列） $\hat{X},\hat{Y}$ に対して、 $\exp(\hat{Z}(t)) \equiv \exp(t \hat{X})\exp(t \hat{Y})$ という演算子 $\hat{Z}(t)$ を求めよう。$t$ が小さい時、テイラー展開して、

$$\hat{Z}(t) = \log(\exp(t \hat{X})\exp(t \hat{Y})) = \sum_... ...ac{(-1)^{m-1}}{m}(\exp(t \hat{X})\exp( t \hat{Y}) - \hat{1})^m$$ (21)

から、

$$\hat{Z}(t)= t(\hat{X}+\hat{Y}) +\frac{t^2}{2}[\hat{X},\ha... ...\hat{Y}]] +\frac{t^3}{12}[[\hat{X},\hat{Y}],\hat{Y}]+ O(t^4)$$ (22)

を確認せよ。 なお、キャンベル・ハウスドルフ(Campbell-Hausdorff)の公式の正確な 導出と一般項の形については、連続群論の本など参照。

2. 交換子 $[\hat{X},\hat{Y}]$が $\hat{X},\hat{Y}$ と交換する時 ( $[\hat{X},[\hat{X},\hat{Y}]] = [\hat{Y},[\hat{X},\hat{Y}]] = 0$)、 もっと簡単に導出できる。 まず、前提条件と数学的帰納法から

$$[\hat{X}^n,\hat{Y}]= n [\hat{X}, \hat{Y}] \hat{X}^{n-1}$$ (23)

なので、

$$[\exp(t \hat{X}),\hat{Y}]= [\hat{X}, \hat{Y}]( t \exp(t \hat{X}))$$ (24)

である。

次にこれを用いると、演算子に関する微分方程式

$$\frac{d}{dt} \left( \exp(t \hat{X})\exp(t \hat{Y})\right) ... ... \hat{Y}]\right) \left( \exp(t \hat{X})\exp(t \hat{Y})\right)$$ (25)

が導かれる。これを積分して初期条件考えると

$$\exp(t \hat{X})\exp(t \hat{Y}) = \exp \left( t(\hat{X}+\hat{Y}) +\frac{t^2}{2}[\hat{X},\hat{Y}] \right)$$ (26)

となる。