$O(n^{-\alpha })$ の収束

$$\vert a_{n}-a\vert \leq c n^{-\alpha} \qquad (c>0,\alpha>0)$$ (7)

となるようなもの。しばしば、

$$a_n = a + b_1 n^{-\alpha}+ \cdots$$ (8)

のように表される。

$\alpha$ が大きくなるにつれ、収束は早くなるが、十分早いとはいえない。 $\alpha$ が $0$ に近付くと、収束が大変遅くなる。

例としては台形公式による数値積分で関数が滑らかな場合 ($\alpha=2$)。

この型のものは $n$ が等比数列をなすような $a_n$ の部分列を選ぶと1次収束 になる。例えば、台形公式による数値積分で $n=2^m(m=0,1,2,3, \cdots)$ として、 $a_1,a_2,a_4,a_8,\cdots$ ととると、() の型になり、Richardson 補外が応用できる。

この型のもので、収束が交代的であるもの

$$a_n = a + (-1)^n (b_1 n^{-\alpha}+ \cdots)$$ (9)

もある。