交代級数

交代級数には Aitken 加速が有効である。 交代級数として、次の例を上げる。

$$a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}, \qquad \lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$$ (1)

$$a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}, \qquad \lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \log 2$$ (2)

はそれぞれ

$$a_n = a + (-1)^n \left(\frac{b_1}{n}+ \cdots \right)$$ (3)

と振舞う。

これらについて、(多段の)Aitken 加速してみよ。