Euler 法の誤差

$y(x)$ のテイラー展開式を考えると、

$$y(x+h) = y(x) + h y'(x) + \frac{1}{2} h^2 y'' (x) + \cdots$$ (7)

従って常微分方程式を差分に直す誤差は、

$$\frac{d y^i}{d x} = \frac{y^i_{n+1}-y^i_{n}}{h} ＋O（h^2)$$ (8)

計算する区間を $a$ から $b$ までとし、それを $n$ 等分して計算を進めると $h = (b-a)/n$ なので、$x=a$ から $x=b$ までの $n$ ステップの誤差は、

$$n O(h^2) = \frac{(b-a)}{h} O(h^2) = O(h)$$ (9)

になる。 つまり、刻み幅を半分にすれば誤差は半分になる。