2次の Runge-Kutta 法

離散近似による誤差を小さくするには、台形公式の他、中点公式を用いて

$$\int_{x}^{x+h} f(x,y(x)) dx \approx h f \left( x+\frac{h}{2},y(x + \frac{h}{2}) \right)$$ (13)

で近似することも考えられる(図 1-c)。

しかし、$y(x+h/2)$ の評価が必要なのでオイラー法で $y(x+h/2)$ の近似値

$$\tilde{y} = y(x) + \frac{h}{2} f (x,y(x))$$ (14)

を計算し、それを() の右辺に代入する

$$y(x+h) \approx h f \left( x+\frac{h}{2},\tilde{y} \right)$$ (15)

これを2次のルンゲクッタ法という。誤差は $O(h^2)$ である。