角運動量のシュウィンガー表示

$\hat{a}_{\pm}$ 及び $\hat{a}^{\dagger}_{\pm}$ は2つの独立した調和振動子 の消滅及び生成演算子である。

$$\hat{J}_{\pm} \equiv \hbar \hat{a}^{\dagger}_{\pm} \hat{a}_... ...^{\dagger}_{+} \hat{a}_{+} + \hat{a}^{\dagger}_{-} \hat{a}_{-}$$ (2)

と置いた時、

$$[\hat{J}_+, \hat{J}_-]= 2 \hbar \hat{J}_{z}, \; [\hat{J}_z, \hat{J}_{\pm}] = \pm \hbar \hat{J}_{\pm}, \;$$ (3)

を証明せよ。

次に

$$\hat{J}^2 \equiv \frac{1}{2}(\hat{J}_{+}\hat{J}_{-} + \hat{J}_{-}\hat{J}_{+}) + \hat{J}^2_z$$

を導入すると、

$$[\hat{J}^2, \hat{J}_{z}]= 0, \; \hat{J}^2 = \left( \frac{\hbar^2}{2} \right) \hat{N} \left( \frac{\hat{N}}{2}+1 \right)$$ (4)

となること証明せよ。