角運動量

角運動量演算子は

$$[\hat{J}_x,\hat{J}_y]= i \hat{J}_z, \qquad [\hat{J}_y,\hat{J}_z] = i \hat{J}_x, \qquad [\hat{J}_z,\hat{J}_x] = i \hat{J}_y$$ (1)

という交換関係満たす(簡単のため、$\hbar =1$と置いた)。

1. $\hat{J}_\pm \equiv \hat{J}_x \pm i \hat{J}_y$ としたとき、

$$[\hat{J}_z,\hat{J}_\pm]= \pm \hat{J}_\pm, \qquad [\hat{J}_+,\hat{J}_-] = 2 \hat{J}_z$$ (2)

を確かめよ。

2. $\hat{J}^2$ を次のように定義した時、

$$\hat{J}^2 \equiv \hat{J}_x^2 + \hat{J}_y^2 + \hat{J}_z^2 = ... ...J}_z^2 +\frac{1}{2}(\hat{J}_+ \hat{J}_- + \hat{J}_- \hat{J}_+)$$ (3)

$\hat{J}^2$ が $\hat{J}_z,\hat{J}_\pm$ と交換することを確かめよ。

3. $\hat{J}_z$ と $\hat{J}^2$ は互いに交換するので、同時固有ケットをとることが出来 る。これを次のように定義する。

$$\hat{J}^2 \vert a,b \rangle = a \vert a,b \rangle$$ (4)

$$\hat{J}_z \vert a,b \rangle = b \vert a,b \rangle$$ (5)

この時、$a,b$ を求めよう。

3-a. まず、交換関係 (2) を使い、

$$\hat{J}^2 (\hat{J}_{\pm} \vert a,b \rangle) = a (\hat{J}_{\pm} \vert a,b \rangle)$$ (6)

$$\hat{J}_z (\hat{J}_{\pm} \vert a,b \rangle) = (b \pm 1) (\hat{J}_{\pm} \vert a,b \rangle)$$ (7)

ということを確かめよ。

従って $\hat{J}_{\pm}$ を $\vert a,b \rangle$ に $n$ 回繰返しかけることで、 固有値 $a,b \pm n$ の状態を作ることが出来る。しかしながらこの操作には上 限、下限が存在する。

3-b. $(\hat{J}_+)^{\dagger}= \hat{J}_-$ を使って、

$$\langle a,b\vert\hat{J}_+ \hat{J}_- \vert a,b \rangle \ge 0, \; \langle a,b\vert\hat{J}_- \hat{J}_+ \vert a,b \rangle \ge 0$$ (8)

を確認せよ。これと、(3) より、$a \ge b^2$ である。

従って、

$$\hat{J}_+ \vert a, b_{max} \rangle =0$$ (9)

を満たす $b_{max}$ が存在しなくてはならない。同様に

$$\hat{J}_- \vert a, b_{min} \rangle =0$$ (10)

を満たす、$b_{min}$ が存在する。

3-c. さて、式 (9) は

$$\hat{J}_- \hat{J}_+ \vert a, b_{max} \rangle =0$$ (11)

をも意味している。

まず演算子 $\hat{J}_- \hat{J}_+$ を、交換関係(2) と (3)を使って、 $\hat{J}^2, \hat{J}_z$ で表せ。

これから、

$$a= b_{max} (b_{max}+1)$$ (12)

を示せ。

3-c' 同様に

$$a= b_{min} (b_{min}-1)$$ (13)

を示せ。従って $b_{min}=-b_{max}$ である。

3-d. 以上より $a = j(j+1),b= -j,-j+1,\ldots,j-1,j$($j$ は整数又は半整数)を示せ。