角運動量と回転

1. 角運動量演算子に対し、 ベーカー・ハウスドルフの補助定理を使い、

$$\exp(i \hat{J}_z \Phi) \hat{J}_\pm \exp ( - i \hat{J}_z \Phi) = \hat{J}_\pm \exp(\pm i \Phi)$$ (15)

を導け。ただし $\Phi$ は実数とする。

2. 状態に関して、回転の演算子

$$\exp(i \hat{J}_z \Phi)$$ (16)

を角運動量の固有状態 $\vert j, m \rangle$ に施してみよ。$m$ が整数の時には $\Phi = 2\pi$ で元に戻る。 $m$ が半整数の時はどうか？