まず2次相転移を振り返る．
対称性の破れた低温側では秩序変数（自発磁化など）はマクロな値をと
るが，温度を上げると連続的に減少して転移点で零になる．
転移点では感受率（帯磁率，比熱など）が発散する．感受率の発散は
揺らぎの増大を反映し，揺らぎの相関距離(
)が転移点に
近付くと発散し，相関関数は転移点で冪乗的に振舞う
（無秩序相では指数関数的に減少，秩序相では一定値）．
感受率・相関距離の発散の程度は臨界指数で表
される．一般に系の次元と対称性が同じなら臨界指数は同一である
（ユニバーサリティー）．
また臨界点は相図の中で孤立している．
対照的に BKT 転移では広い領域で臨界現象が見られ， 臨界相（2次元 XY 模型・超伝導薄膜の低温相，絶対零度の1次 元量子系のスピン液体相，朝永-Luttinger 液体相）で連続的対称性 (U(1),SU(2))に伴う秩序変数は零のままだが，感受率・相関距離は 発散している． 臨界指数は臨界相内でパラメーター（温度，異方性など）に依存し連 続的に変化する．
BKT 転移の研究の歴史は長いが，2次転移で有効な方法を応用でき ないことは意外と認識されていない． BKT 転移での有限サイズ補正は対数で効くのでマクロな 系でも無視できず[4]，実験でユニバーサルジャンプが鈍って見えるとか， 数値計算で臨界指数がうまく求まらず，新種の相転移の発見という 報告すらあった． 最近 DMRG により大きな系の数値計算が精密に できるようになり，相関距離有限の場合に加え2次転移でも成功 しているが，BKT 転移を直接扱うのは困難である[5]．
我々は繰り込み群と対称性に基づき，有限系の数値計算から得られる複数の励 起から対数補正が打ち消し合う組合せをとることで，BKT 転移の対数補正 の困難を避けることに成功した（レベルスペクトロスコピー）．
次節で BKT転移を2次転移と比較し，物理的意義の 違いを確認する．3 節でレベルスペクトロスコピーの結果を述べる． 4節でレベルスペクトロスコピーの導出をするが， BKT 転移の知識を前提としているので，それ以外の読者は 先に5節以降の具体例に取り掛かることを勧める．