連立常微分方程式

一般には(多変数、高階の）常微分方程式は $m$ 元連立1階常微分方程式

$$\frac{d y^i(x)}{dx} = f^i (x,y^1,y^2,\ldots,y^m), \qquad i=1,\ldots, m$$ (6)

になる が、その場合も $y,f$ をベクトル（配列）の形にすれば良い。 この場合修正オイラー法の手続きは次のようになる。パラメーター $x_n=a+nh$ に対して、求めるべき値の $y^i(x_n)$ の近似値を $y^i_n$ で表す。

ステップ 0

$x,y^i$ の組が与えられた時、

$$f^i (x,y^1,y^2,\ldots,y^m)$$ (7)

を $i=1,\cdots m$ まで1次元配列として出すサブルーチンを作成する(これは問 題ごとに異なる)。

ステップ 1

$$\tilde{y}^{i} = y^{i}_n + h f^i (x_n,y^{i}_n)$$ (8)

を $i=1,\cdots m$ まで1次元配列として出す。

ステップ 2

$$y^{i}_{n+1} = y^{i}_n + \frac{h}{2} [ f^{i}(x_n,y^{i}_n)+ f^{i} (x_{n+1},\tilde{y^{i}})]$$ (9)

で、次のステップの $y^i$ を出す。

ステップ 3

$x_{n+1}$ と、求めた $y^{i}_{n+1}$ を 新たにステップ 1,2 での $x_n,y^{i}_n$ に置き換える。すると次に $y^{i}_{n+2}$ が求まる。以下順次これを繰り返す。