$Z_2$ 対称性

BKT 転移で $Z_2$ 対称性の破れを伴うものを sine-Gordon モデルで表す． 式 (12) で $y_2$ の項を $\cos 2 \sqrt {2}\phi$ とおきかえ， $y_1 \equiv 2(K-1)$ とする(この場合，$y_2=0$ での双対性は $K \leftrightarrow 1/K, \phi \leftrightarrow \theta$)．

Massive 領域では $y_2 \rightarrow \pm \infty$ へ繰り込まれ，

$$\langle \phi \rangle \rightarrow \left\{ \begin{array}{l... ...\pi/\sqrt{2} &( y_2 \rightarrow - \infty) \end{array} \right.$$ (20)

対応する秩序変数は

$$\left\{ \begin{array}{ll} \langle \sin \sqrt{2} \phi \ra... ...m constant &( y_2 \rightarrow - \infty) \end{array} \right.$$ (21)

で，自発的 $Z_2$ 対称性の破れ(2重縮退)が起きる．

前節の量子数の他，$n$ が奇数・偶数にも物理的意味が出る(量子スピン系の波 数 $q=\pi,0$ に対応)． $\cos \sqrt{2} \phi,\sin \sqrt{2} \phi$ は$y_2=0$で同じスケーリング次元 $x=1/2$ を持つが， $y_2 \neq 0$ で sine-Gordon モデルの $y_2$ の相互作用項によりパリティの 違う2状態間の分裂が起こる (表 2) [15,14]． なお，BKT 転移線上では励起の構造が triplet-singlet と SU(2) 対称性と関連し，対数補正も $-1/4:3/4$ と Clebsch-Gordan 係数と一 致する．