$Z_2$ 対称性の破れを伴う BKT 転移

BKT 転移には離散的対称性の破れを伴うものがあり， 特に $Z_2$ 対称性の場合，各相での最低励起が交差する点が 相境界となる．

前節の量子数の他，$Z_2$ 対称性に関連する量子数 (波数 $q=0,\pi$ 等に対応)を導入する． 表 2 に量子数とスケーリング次元をまとめた [15,14,12]． BKT 転移線でのスケーリング次元の準位交差は，$x=2$ に加え(量子数は 表 1 と異なる)，$x=1/2$でも起こり， 量子数 ( $m=0,q=\pi,P= \pm 1$) と ($m= \pm 1$) の励起の 準位交差が BKT 転移線となる (図 3 a，表 2)．

ガウシアン固定線$y_2=0$両側の $Z_2$ 対称性の破れた2相はパリティ が異なるので， $m=0,q=\pi,P= \pm 1$ の励起が準位交差する (図 3 b)．

表 2: $Z_2$ 対称な時の量子数($m,P,q$)とスケーリング次元$x$．境界条件はすべて 周期的．

m	P	q	$x$	operator in s.G.	abbrev.
$\pm 1$			$1/2 - y_1(l)/4$	$\exp(\pm i \sqrt{2} \theta )$	$x_{\pm 1,0}$
0	-1	$\pi$	$1/2 + y_1(l)/4 - y_2(l)/2$	$\sin (\sqrt{2} \phi )$	$x_{0,sin}$
0	1	$\pi$	$1/2 + y_1(l)/4 + y_2(l)/2$	$\cos (\sqrt{2} \phi )$	$x_{0,cos}$
$\pm 2$	1	0	$2 - y_1(l)$	$\exp(\pm i 2 \sqrt{2} \theta )$	$x_{\pm 2,0}$
0	1	0	$2 - y_1(l )(1 + 4t/3)$	marginal	$x_{marg}$
0	-1	0	$2 + y_1(l)$	$\sin ( 2 \sqrt{2} \phi )$	$x_{0,sin2}$
0	1	0	$2 + 2 y_1(l)(1 + 2t/3)$	$\cos ( 2 \sqrt{2} \phi )$	$x_{0,cos2}$

図 3: $Z_2$ 対称な場合のスケーリング次元 $x$ (a) BKT 転移線($y_2>0$ の場合），(b)ガウシアン転移線近傍