通常の BKT 転移

2次元古典系，1次元量子系の多様な系が BKT 転移を示すが，個 別に扱うと繁雑なので，ボゾン化などで sine-Gordon ・2次元クーロンガス といった有効モデルに置き換え[3,19,20]，繰り込 み群的解析をする．

1+1 次元量子 sine-Gordon 模型は

$$Z = \int {\cal D \phi} \exp( - \int d^2 x {\cal L}),$$

$${\cal L} = \frac{1}{2 \pi K} (\nabla \phi)^2 + \frac{y_2}{2 \pi \alpha^2}\cos \sqrt {2}\phi$$ (12)

である[21] (繰り込み群方程式 (5)とは $y_1 = 2(K/4-1)$で関係する)． 補助条件として，場 $\phi$ を半径 $1/\sqrt{2}$ の円に巻き付け $\phi \equiv \phi + \sqrt{2}\pi$ と同一視する．また $\phi$ と共役な場 $\theta$ を

$$\partial_x \phi = - \partial_y( i K \theta), \; \partial_y \phi = \partial_x( i K \theta),$$ (13)

を導入し， $\theta \equiv \theta + \sqrt{2}\pi$ とし，場 $\theta$ で U(1)対称性 を表現する．

まず自由場($y_2=0$)の相関関数を調べる． $\phi,\theta$ の相関関数は

$$\langle \phi (r) \phi(0) \rangle = -\frac{K}{2} \ln \left( ... ... = -\frac{1}{2K} \ln \left( \frac{\vert r\vert}{\alpha}\right)$$ (14)

である．しかし，場 $\phi,\theta$ は多価関数なので，物理的解釈の面で 不都合である． そこで，周期性の条件(U(1)対称性)の元で一意的に定義される物理量として，バー テックス演算子

$$O_{m,n} \equiv \exp ( i \sqrt{2} m \theta)\exp ( i \sqrt{2} n \phi) \qquad (m,n 整数)$$ (15)

と，マージナル演算子

$$O_{marg} \equiv (\partial_x \phi)^2 + (\partial_y \phi)^2$$ (16)

を導入する． バーテックス演算子の整数 $m$ は磁化・ 電子密度等の保存量の量子数(U(1) 対称性に関連)に対応する． 整数 $n$ は保存量とは関係しない． 従って特定の量子数に対するエネルギースペクトルから， 各演算子に対する情報が得られる． バーテックス演算子同士の相関は

$$\langle O_{m,n}(r)O_{-m,-n}(0) \rangle = \exp \left[ - 2 ... ...m,n} \Theta \right], \; r \equiv \vert r\vert \exp (i \Theta)$$ (17)

と冪乗的に振舞う．ここでスケーリング次元 $x_{m,n}, l_{m,n}$ は

$$\fbox{$\displaystyle x_{m,n} = \frac{1}{2} \left( \frac{m^2}{K} + n^2 K \right), \; l_{m,n} =mn $}$$ (18)

で $x_{m,n}$ は $K$ に依存して連続的に変化する($l_{m,n}$ は量子系の波数 と関連)． また，マージナル演算子の相関は

$$\langle O_{marg} (r) O_{marg} (0) \rangle \propto \vert r\vert^{-4}$$ (19)

でスケーリング次元は である． 結局，$K=4$ で複数のスケーリング次元 ( $x_{\pm 4,0}, x_{0,\pm 1}, x_{marg}$)が $x=2$ で交差する． これは，双対性(duality) ( $K \leftrightarrow 16/K, \phi \leftrightarrow 4 \theta$)を反映したもの である．

次に相互作用のある場合 $y_2 \neq 0$ に進もう． 摂動論的繰り込み群で扱うと，$y_1 = 2(K/4-1)$ として 式(5)が得られ，$K=4$ の前後で $\cos \sqrt{2} \phi$ 項が relevant から irrelevant に変わる． この時，双対性は成立しない が，スケーリング次元の交差は BKT 臨界線の判定に使えるのではないか? 実際，繰り込み群からスケーリング次元への有限サイズ補正を求め ると表 1 となり，BKT 転移点 $t=0$ で対数補正を 含めても ( $m=\pm 4,P=1,q=0$) と ($m=0,P=1,q=0$)の励起が交差する．

量子数については $y_2 \neq 0$ で $\phi$ は U(1) 対称性を失い量子数 $n$ は無意味になるが， $\phi \rightarrow -\phi$ の反転で不変なためパリティの量子数が残る． 演算子の側でもこれを考慮し， $\cos(\sqrt{2} n \phi), \sin(\sqrt{2} n \phi)$ という形のものをとる．

演算子の繰り込みについては $y_1(or K)$ が式 (5) で繰り込まれ，(18) から スケーリング次元全体に影響する． さらに $\cos \sqrt{2} \phi$ とマージナル演算子は $y_2$ の繰り込みの影響 も受ける． これは $K=4$ でスケーリング次元が 同じになるだけでなく，対称性(量子数) でも U(1)・パリティ・波数全て同じなので， sine-Gordon モデルの $y_2$ の相互作用項により2状態間の混成が起こるからで ある．以上をまとめたものが前出の表 1 である．

では繰り込み群の高次ではどうか? 実は sine-Gordon 模型の BKT 転移 線が SU(2) Thirring モデルにマップできる性質 [22]を反映し，繰 り込み群の高次でもスケーリング次元の構造は変わらない． 今のケースでは BKT 転移線上の SU(2) 対称性は間接的だったが， 次節の massive 領域で $Z_2$ 対称性の破れがあるケースでは SU(2) 対 称性があらわに出る．