スピン系(S=1)

次にボンド交替のある XXZ スピン鎖

$$H= \sum_{j=1}^{L} (1-\delta (-1)^j) (S^x_j S^x_{j+1} +S^y_j S^y_{j+1}+ \Delta S^z_j S^z_{j+1})$$ (24)

を例にとる．これは，スピンパイエルス転移で重要であるし， もともと相互作用が交替的な物質もある． この系で S=1の場合，臨界的($\xi = \infty$)な XY 相 と，massive な Haldane,dimer 相がある [26,17]． 前節と異なり Haldane相，dimer 相には対称性の破れ がない．従って XY-Haldane,dimer 相の転移は $K=4$ BKT 転移に当たる．

この場合，ハミルトニアン(24) で 量子数($m=0,q=0,P=1$)の第1励起と，( $m =\pm 4, q=0, P=1$)の最低励起 の交差から BKT 転移線が決められる(図 6)． 注目すべきことに，XY-Haldane の相境界はちょうど $\Delta=0$ であるが，こ れについて納得できる説明はまだない．

図 6: S=1 のボンド交替鎖の相図．XY-dimer,XY-Haldane は BKT 転移， dimer-Haldane はガウシアン転移，Néel の相境界は2次元イジングタイプ のユニバーサリティークラス ([17] Fig.1 より転載)．

さらに，量子数($m=0,q=0,P=-1$)の励起と量子数($m=0,q=0,P=1$)の第2 励起があるが，これらに対する対数補正の寄与は BKT 転移線上で $-1:1:2$ なので励起スペクトルの情報から対数補正を打ち消しス ケーリング次元を求めることができる(図 7)．

図 7: BKT 転移線上でのスケーリング次元．$\times ,\Box$: 裸のスケーリ ング次元，$\circ$: 対数補正取り除いたスケーリング次元 ([17] Fig.4 より転載)．