Aitken 加速

実際の問題では収束率$\lambda$が未知であることが多い。そのような場合、 () 式から、

$$a_{n+1}-a_{n} \approx b \lambda^{n+1} - b \lambda^{n} = b\lambda^{n}(\lambda -1)$$ (15)

であるので、 $a_{n+1}-a_n$ と $a_{n+2}-a_{n+1}$ の比から

$$\lambda = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+1}-a_n}$$ (16)

で $\lambda$ を推定を推定することができる。

この $\lambda$ の推定式をRichardson 補外で導いた式 () に代入すると、

$$a \approx a_n^{(1)} = a_n - \frac{(a_{n+1}-a_{n})^2}{a_{n... ... = a_{n+2} - \frac{(a_{n+2}-a_{n+1})^2}{a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n}$$ (17)

が得られる。

Aitken 加速は1次収束に対してだけでなく、 混合型 () や交代的な収束性を示すもの () にも有効である (説明は次回以降)。 しかし、単純な冪乗的収束を示すもの()には、あまり効果がない。

得られた数列 $a_n^{(1)}$ に対し、Aitken 加速をさらに繰り 返し、 $a_n^{(2)},a_n^{(3)},\cdots$ と収束を向上できる。

課題：

与えられた数列に対し、Aitken 加速された数列を返すプログラムを（で きればサブルーチンの形で）作れ。倍精度実数を使うこと。