通常の BKT 転移

通常の BKT 転移では massive 相に対称性の破れがない． 表 1 にスケーリング次元（励起と (6) で関連） と量子数の対応をまとめた[12]． Marginal なスケーリング次元 $x=2$ 付近を調べると， BKT 転移線 $y_2 (l) = \pm y_1 (l)$で，量子数( $m=\pm 4,P=1,q=0$)と ($m=0,P=1,q=0$)の励起が交差する (表 1，図 2)ので，これから転移線を決定できる． 次に BKT 転移線上での対数補正($1/\ln L$)の比が $2:1:-1$(表1の $x_{0,cos},x_{0,sin},x_{\pm 4,0}$ に対応)を使い対数補正を除去し，ユニバーサリティークラスを確認できる．

BKT 転移線での励起準位交差は，実は（隠れた） SU(2) 対称性を反映しており， 対数補正の高次の項まで成立している．

図 2: BKT 転移線近傍のスケーリング次元 $x$

表 1: 量子数($m,P,q$)と繰り込まれたスケーリング次元$x$．BC は境界条件の分類を 表し，PBC は周期的境界，TBC はひねり境界である（TBC でのパリ ティは PBC と異なるので，$\pm 1^{*}$ と区別した）． $t$ は BKT 転移点からの 距離( $y_2(l)= \pm y_1(l)(1+t)$)． $y_1,y_2$ は繰り込み群方程式 (5)に従い，BKT 転移線上で $y_1(l) = \pm y_2(l) = 1/ \ln (L/L_0)$ ．

m	P	q	BC	$x$	operator in s.G.	apprev.
$\pm 2$	1	0	PBC	$1/2 - y_1(l)/4$	$\exp(\pm i 2 \sqrt{2} \theta )$	$x_{\pm 2,0}$
0	$-1^{*}$		TBC	$1/2 + y_1(l)/4 - y_2(l)/2$	$\sin (\phi / \sqrt{2})$	$x_{0,sin}^{TBC}$
0	$1^{*}$		TBC	$1/2 + y_1(l)/4 + y_2(l)/2$	$\cos (\phi / \sqrt{2})$	$x_{0,cos}^{TBC}$
$\pm 4$	1	0	PBC	$2 - y_1(l)$	$\exp(\pm i 4 \sqrt{2} \theta )$	$x_{\pm 4,0}$
0	1	0	PBC	$2 - y_1(l )(1 + 4t/3)$	marginal	$x_{marg}$
0	-1	0	PBC	$2 + y_1(l)$	$\sin (\sqrt{2} \phi )$	$x_{0,sin}$
0	1	0	PBC	$2 + 2 y_1(l)(1 + 2t/3)$	$\cos (\sqrt{2} \phi )$	$x_{0,cos}$