レベルスペクトロスコピー

本節では BKT 転移の困難を解決したレベルスペクトロスコピー を紹介する． BKT転移のスケーリング次元の構造を調べると BKT転移線で irrelevantから relevant へ，又はその逆になるものがあるので， スケーリング次元の交差から転移点を決定し，対数補正を除 去できる[12]． 1次元量子系の場合，長さ $L$ の有限系で周期境界条件(PBC)の下で，励起エネルギー $\Delta E_j$とスケーリング次元$x_j$との関係は[6]

$$\fbox{$\displaystyle \Delta E_j = \frac{2 \pi v x_j}{L} $}$$ (6)

($v$ は電子系のフェルミ速度，または量子スピン系のスピン波速度)なので， 励起スペクトルからスケーリング次元を調べることができる．

さらに各励起は量子数（例えば磁化・電子密度等の量子数$m$（U(1) 対称性）， パリティ $P$（空間反転），波数 $q$)で分類できる．

ところで，BKT 転移には離散的対称性の破れを伴う場合 もあり，同じ繰り込み群方程式で記述されるが，臨界指数 は異なる．

レベルスペクトロスコピーを使う際の手順を以下に示す．

1. 離散的対称性の破れの有無による分類
   1. 離散的対称性の破れのない場合 [12,13]

      3.1，3.3 節の説明と表 1 から量子数 と励起の対応をとり，準位交差から BKT・ガウシアン 転移線決定

   2. $Z_2$ 離散的対称性の破れを伴う場合 [14]

      3.2 節の説明と表 2 から量子数と励起の 対応をとり，準位交差から BKT・ガウシアン転移線 決定

   3. $Z_p$($p>2$ の整数)対称性の破れを伴う場合

      本解説では取り上げていないが，文献 [12] で考察． クロックモデル，多重ウムクラップ過程などに関連

2. ユニバーサリティークラスの確認（対数補正の除去）
   1. スケーリング次元

      表 1,2 から 対数補正が打ち消し合う組合せをとり，スケーリング次元が予想 と合うか確認(3.4 節)

   2. セントラルチャージ $c=1$ の確認(3.5 節)

レベルスペクトロスコピーは対数補正を打ち消す組合せをとっているので，小さ な系の数値計算でも無限系に非常に近い結果になる （実際には$O(1/L^2)$ の補正が残るが，十分収束早い）．